tìm hệ số lớn nhất trong khai triển

Bài viết sau sẽ một phần giải đáp các thắc mắc đó. Giai đoạn 1: Khảo sát dự án Khảo sát hiện trạng là giai đoạn đầu tiên trong quá trình phát triển một hệ thống thông tin. Nhiệm vụ chính trong giai đoạn này là tìm hiểu, thu thập thông tin cần thiết để chuẩn bị cho việc giải quyết các yêu cầu được đặt ra của dự án. Ứng dụng chuyển đổi số để quản lý giáo dục: 5 bước giúp doanh nghiệp ngành giáo dục chuyển đổi số hiệu quả. Triển khai xây dựng môi trường đào tạo linh động. Xây dựng hệ thống tài liệu học tập không giới hạn. Chú trọng nâng cao tương tác giữa học sinh Bộ điều khiển số không thể lấy mẫu liên tục theo thời gian, nó cần được rời rạc ở một vài mức. Khi cho hệ số lấy mẫu ngắn bên trong thời gian vi phân có thể đạt được xấp xỉ một sai phân có giới hạn và tích phân qua việc lấy tổng. Chúng ta sẽ quan tâm mỗi dạng ở một thời điểm, và sai số được tính ở mỗi khoảng lấy mẫu: e (n) = X (n) - Y (n) Dưới đây là một số mẹo giúp bạn khai thác tối đa tính năng Windows Search trên Windows 11. Tìm file lớn Bạn có thể dễ dàng tìm thấy các file lớn trên ổ đĩa hoặc trong một thư mục bằng cách sử dụng lệnh 'size:'. Sau đó, bạn có thể sử dụng một trong các thuật ngữ từ Tùy chọn tìm kiếm để lọc các file và hiển thị chúng dựa trên kích thước của chúng. Bán sự thật. Trong WoC 32 Report, chúng tôi đã mô tả việc xuất hiện các vị thế trên thị trường hợp đồng tương lai và hợp đồng quyền chọn như là một biện pháp phòng ngừa rủi ro cho sự kiện sell-the-news.Thật vậy, ETH đã bị bán tháo từ mức cao nhất của tuần $1,777 xuống còn khoảng $1,650 ngay khi the Merge Dạng 1. Xác định những hệ số, số hạng vào knhị triển nhị thức Newton. A. Phương pháp. Cách 1: Knhị triển nhị thức Newton để search số hạng tổng quát: Bước 2: Dựa vào đề bài bác, giải phương trình hai số mũ bởi nhau: Số hạng chứa. ứng với cái giá trị thỏa:. Từ diecrosatti1976. Lời giải Theo khai triển nhị thức Newton ta có \\left 1+\frac{2x}{3} \right ^{10}=\sum _{k=0}^{10}C^{k}_{10} 1^{k}\left \frac{2x}{3} \right ^{10-k}\ \=C^{0}_{10}\left \frac{2x}{3} \right ^{10}+C_{10}^{1}\left \frac{2x}{3} \right ^9+.....+C_{10}^{10}\left \frac{2x}{3} \right ^0\ Các hệ số \C_{10}^0\frac{2}{3}^{10}; C_{10}^{1}\frac{2}{3}^9; ...; C_{10}^{10}\frac{2}{3}^0\ Xét hàm \fx=C_{10}^{x}\left\frac{2}{3}\right^{10-x}\ \fa+1=C_{10}^{a+1}\frac{2}{3}^{9-a}\ \fa=C_{10}^{a}\left\frac{2}{3}\right^{10-a}\ \fa+1-fa=\frac{10!}{a+1!9-a!}\frac{2^{9-a}}{3^{9-a}}-\frac{10!}{a!10-a!}\frac{2^{10-a}}{3^{10-a}}\ \=\frac{10!.2^{9-a}}{a!9-a!.3^{9-a}}\left[ \frac{1}{a+1}-\frac{2}{310-a}\right]\ \=\frac{10!.2^{9-a}}{a!9-a!.3^{9-a}}.\frac{28-5a}{3a+110-a}\ Nếu \a\geq 6\Rightarrow fa+1-fa 0\ , hàm tăng Do đó điểm cực đại của \fx\ với \x=0;1;2;....; 10\ đặt tại \x=6\ Do đó hệ số lớn nhất là \C_{10}^{6}\frac{2}{3}^4=\frac{1120}{27}\ Bài 3 Nhị thức Niu-tơn lý thuyết trắc nghiệm hỏi đáp bài tập sgk Câu hỏi Bài 1 Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển x+2\^{10}\helppp me hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left1+x^2\right^{12}\ hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left2x-1\right^{10}\HELP ME! Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của \\left\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}\right^{14}\ Xem chi tiết Bài 1 hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left1+x^2\right^{12}\ hệ số của số hạng chứa \x^6\ trong khai triển \\left2x-1\right^{10}\Giúp mk vs ạ!!! Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 1+2x/310 Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 1+2x/310 Xem chi tiết 15. Số hạng chính giữa trong khai triển 3x + 2y^4 là? 18. Tìm hệ số của x^7 trong khai triển hx= x2 + 3x^9 là? 19. Tìm hệ số của x^7 trong khai triển gx= 1+x^7 + 1-x^8 + 2+x^9 là? Xem chi tiết 1. Tìm hệ số của số hạng x^4 trong khai triển leftx-3right^92. Tìm hệ số của số hạng chứa x^{12}y^{13} trong khai triển left2x+3yright^{25}3. Tìm hệ số của số hạng chứa x^4 trong khai triển leftdfrac{x}{3}-dfrac{3}{x}right^{12}4. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển leftx^2-dfrac{1}{x}right^65. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển leftx+dfrac{1}{x^4}right^{10}Đọc tiếp Xem chi tiết Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển sau x5 + 1/2x27 Xem chi tiết Tìm hệ số chứa x^6 trong khai triển 1/x + x^3^10 Xem chi tiết Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton, các dạng toán được đề cập trong bài viết gồm xác định hệ số trong khai triển nhị thức Newton 2 số hạng, 3 số hạng, xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn … trong mỗi dạng toán, đều có hướng dẫn cụ thể phương pháp, các ví dụ minh họa với lời giải chi tiết, phần cuối bài viết là tuyển tập các bài toán hay và khó để bạn đọc nắm chắc kỹ thuật giải dạng toán Phương pháp xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton. 1. Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển ${\left {a{x^p} + b{x^q}} \right^n}.$ Phương pháp Cho khai triển ${\left {a{x^p} + b{x^q}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {a{x^p}} \right^{n – k}}{\left {b{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}{x^{np – pk + qk}}.$ Số hạng chứa ${x^m}$ ứng với giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = m.$ Từ đó tìm $k = \frac{{m – np}}{{p – q}}.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ là $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}$ với giá trị $k$ đã tìm được ở trên. Nếu $k$ không nguyên hoặc $k > n$ thì trong khai triển không chứa $x^m$, hệ số phải tìm bằng $0.$ Lưu ý Tìm số hạng không chứa $x$ thì ta đi tìm giá trị $k$ thỏa $np – pk + qk = 0.$Bài toán 1 Trong khai triển $\left {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right$, $x > 0$ số hạng không chứa $x$ sau khi khai triển là? A. $4354560.$ B. $13440.$ C. $60466176.$ D. $20736.$Chọn A. ${\left {2\sqrt[3]{x} – \frac{3}{{\sqrt x }}} \right^{10}}$ $ = {\left {2{x^{\frac{1}{3}}} – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2{x^{\frac{1}{3}}}} \right^{10 – k}}{\left { – 3{x^{ – \frac{1}{2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^{\frac{{10 – k}}{3}}}{x^{\frac{k}{2}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^{\frac{{20 – 5k}}{6}}}.$ Theo yêu cầu đề bài ta có $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4{.2^6}{.3^4} = = 435460.$Bài toán 2 Cho $n$ là số dương thỏa mãn $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Newton $P = {\left {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right^n}$ với $x \ne 0$ là? A. $ – \frac{{35}}{{16}}.$ B. $ – \frac{{16}}{{35}}.$ C. $ – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$ D. $ – \frac{{16}}{{35}}{x^5}.$Chọn C. Điều kiện $n \in N$, $n \ge 3.$ Ta có $5C_n^{n – 1} = C_n^3$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!}} = \frac{{n!}}{{3!.n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{5}{{n – 3!n – 2n – 1}} = \frac{1}{{6n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 7\{\rm{thỏa\mãn}}}\\ {n = – 4\{\rm{loại}}} \end{array}} \right.$ Với $n = 7$ ta có $P = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}.$ $P = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {\frac{{{x^2}}}{2}} \right^{7 – k}}{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \frac{1}{{{2^k}}} \cdot { – 1^{7 – k}}{x^{14 – 3k}}.$ Số hạng chứa ${x^5}$ tương ứng với $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$ Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_7^4 \cdot \frac{1}{{{2^4}}} \cdot { – 1^3} = – \frac{{35}}{{16}}.$2. Xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn. Phương pháp Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Xét các khả năng sau a. Nếu ${a_k} > 0$ $\forall k$ trường hợp ${a_k} {a_{k + 1}}$ có nghiệm $k > {k_0}.$ • Nếu ${a_k} = {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k = {k_0}$ thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta tìm được hai hệ số lớn nhất là ${a_{{k_0}}} = {a_{{k_0} + 1}}.$ • Nếu phương trình ${a_k} = {a_{k + 1}}$ vô nghiệm thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 1}} > {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta có ${a_{{k_0}}}$ là hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức. b. Nếu ${a_{2k}} > 0$ $\forall k$ và ${a_{2k + 1}} 0$ $\forall k$ tương tự thì khi đó bài toán trở thành tìm số lớn nhất trong các số ${a_{2k}}$. Ta cũng xét bất phương trình ${a_{2k}} \le {a_{2k + 2}}$ rồi làm tương tự như phần toán 1 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức $Px = {2x + 1^{13}}$ $ = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + \ldots + {a_{13}}.$ A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$Chọn A. Ta có hệ số tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${2x + 1^{13}}$ là ${a_n} = C_{13}^n{.2^{13 – n}}.$ Suy ra ${a_{n – 1}} = C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}}$, $n = 1,2,3, \ldots ,13.$ Xét bất phương trình với ẩn số $n$ ta có ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ $ \Leftrightarrow C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}} \le C_n^{13}{.2^{13 – n}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!14 – n!}} \le \frac{{13!}}{{n!13 – n!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{14 – n}} \le \frac{1}{n}$ $ \Leftrightarrow n \le \frac{{14}}{3} \notin N.$ Do đó bất đẳng thức ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \{ 1,2,3,4\} $ và dấu đẳng thức không xảy ra. Nên bất đẳng thức ${a_{n – 1}} > {a_n}$ đúng với $n \in \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\} .$ Ta được ${a_0} {a_5} > {a_6} > \ldots > {a_{13}}.$ Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là ${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$Bài toán 2 Trong khai triển biểu thức $F = {\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là? A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$Chọn B. Ta có số hạng tổng quát ${T_{k + 1}} = C_9^k{\sqrt 3 ^{9 – k}}{\sqrt[3]{2}^k}.$ Ta thấy hai bậc của căn thức là $2$ và $3$ là hai số nguyên tố, do đó để ${T_{k + 1}}$ là một số nguyên thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {0 \le k \le 9}\\ {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3 \Rightarrow {T_4} = C_9^3{{\sqrt 3 }^6}{{\sqrt[3]{2}}^3} = 4536}\\ {k = 9 \Rightarrow {T_{10}} = C_9^9{{\sqrt 3 }^0}{{\sqrt[3]{2}}^9} = 8} \end{array}} \right.$ Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là ${T_4} = 4536$ và ${T_{10}} = 8.$3. Xác định hệ số của số hạng trong khai triển $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}.$ Phương pháp Xác định hệ số của số hạng chứa ${x^m}$ trong khai triển $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}.$ Ta làm như sau $Px = {\left {a{x^t} + b{x^p} + c{x^q}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {a{x^t}} \right^{n – k}}{\left {b{x^p} + c{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } {a^{n – k}}{x^{tn – k}}C_k^i{b^{k – i}}{c^i}{x^{pk – i + qi}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {\sum\limits_{i = 0}^k {C_n^k} } C_k^i{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{tn – k + pk – i + qi}}$ do ${\left {b{x^p} + c{x^q}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {\left {b{x^p}} \right^{k – i}}{\left {c{x^q}} \right^i}$ $ = \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {b^{k – i}}{c^i}{x^{pk – i + qi}}$. Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là $C_n^kC_i^k{a^{n – k}}{b^{k – i}}{c^i}{x^{tn – k + pk – i + qi}}.$ Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của ${x^m}.$Bài toán 1 Hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển $Px = {\left {3{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ là A. $1695.$ B. $1485.$ C. $405.$ D. $360.$Chọn A. Ta có số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{210 – k + 1k – i + 0i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{3^{10 – k}}{x^{20 – k – i}}.$ Số hạng chứa ${x^4}$ tương ứng với $20 – k – i = 4$ $ \Rightarrow k = 16 – i.$ Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $i;k \in \{ 6;10;7;9;8;8\} .$ Vậy hệ số của ${x^4}$ trong khai triển $Px = {\left {3{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ là $C_{10}^{10}C_{10}^6{3^0} + C_{10}^9C_9^73 + C_{10}^8C_8^8{3^2} = 1695.$ Nhận xét Chú ý khi ra nhiều trường hợp của $i, k$ thì ta cộng hệ số các trường hợp với nhau để có kết toán 2 Tìm số hạng chứa ${x^{13}}$ trong khai triển thành các đa thức của ${\left {x + {x^2} + {x^3}} \right^{10}}$ là A. $135.$ B. $45.$ C. $135x^{13}.$ D. $45x^{13}.$Chọn C. Ta có số hạng tổng quát của khai triển là $C_{10}^kC_k^i{1^{10 – k}}{1^{k – i}}{1^i}{x^{10 – k + 2k – i + 3i}}$ $ = C_{10}^kC_k^i{x^{10 + k + i}}.$ Số hạng chứa ${x^{13}}$ tương ứng với $10 + k + i = 13$ $ \Rightarrow k = 3 – i.$ Với $0 \le k \le 10$, $0 \le i \le k$ nên ta có $i;k \in \{ 0;3;1;2\} .$ Vậy hệ số của ${x^{13}}$ trong khai triển $Px = {\left {x + {x^2} + {x^3}} \right^{10}}$ là $C_{10}^3C_3^0 + C_{10}^2C_2^1 = 210.$B. Bài tập rèn luyện. Bài toán 1. Trong khai triển ${\left {8{a^2} – \frac{1}{2}b} \right^6}$, hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là A. $ – 80{a^9}{b^3}.$ B. $ – 64{a^9}{b^3}.$ C. $ – 1280{a^9}{b^3}.$ D. $60{a^6}{b^4}.$Chọn C. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = { – 1^k}C_6^k{8^{6 – k}}{a^{12 – 2k}}{2^{ – k}}{b^k}.$ Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = 3.$ Khi đó hệ số của số hạng chứa ${a^9}{b^3}$ là $ – 1280{a^9}{b^3}.$Bài toán 2 Hệ số của ${x^3}{y^3}$ trong khai triển ${1 + x^6}{1 + y^6}$ là A. $20.$ B. $800.$ C. $36.$ D. $400.$Chọn D. Số hạng tổng quát trong khai triển trên là ${T_{k + 1}} = C_6^k{x^k}.C_6^m{y^m}.$ Yêu cầu bài toán xảy ra khi $k = m = 3.$ Khi đó hệ số của số hạng chứa ${x^3}{y^3}$ là $C_6^3C_6^3 = 400.$Bài toán 3 Xác định hệ số của ${x^8}$ trong các khai triển sau $fx = 8{1 + 8x^8}$ $ – 9{1 + 9x^9} + 10{1 + 10x^{10}}.$ A. $ – C_9^1{.9^8} + B. $C_8^0{.8^8} – C_{9.}^1{.9^8} + C_{10}^8{.10^8}.$ C. $C_8^0{.8^8} – + D. $ – + D. Ta có ${1 + 8x^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {8^{8 – k}}{x^{8 – k}}.$ ${1 + 9x^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {9^{9 – k}}{x^{9 – k}}.$ ${1 + 10x^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {10^{10 – k}}{x^{10 – k}}.$ Nên hệ số chứa ${x^8}$ là $ – + toán 4 Tìm hệ số của ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${2 – 3x^{2n}}$, biết $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$ A. $2099529.$ B. $-2099520.$ C. $-2099529.$ D. $2099520.$Chọn B. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{k = 0}^{2n + 1} {C_{2n + 1}^k} = {2^{2n + 1}}}\\ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i}} } \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {C_{2n + 1}^{2i + 1}} = {2^{2n}} = 1024$ $ \Rightarrow n = 5.$ Suy ra ${2 – 3x^{2n}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 3^k}{x^k}.$ Hệ số của ${x^7}$ là $C_{10}^7{.2^3}.{ – 3^7} = – 2099520.$Bài toán 5 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$ A. $3320.$ B. $2130.$ C. $3210.$ D. $1313.$Chọn A. Đặt $fx = x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$ Ta có $fx = x\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^k} + {x^2}\sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3x^i}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^{k + 1}} + \sum\limits_{i = 0}^{10} {C_{10}^i} {3^i}{x^{i + 2}}.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển đa thức của $fx$ ứng với $k = 4$ và $i = 3$ là $C_5^4{ – 2^4} + C_{10}^3{3^3} = 3320.$Bài toán 6 Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$. Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$ A. $n=3.$ B. $n=4.$ C. $n=5.$ D. $n=2.$Chọn C. Cách 1 Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}} + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n.$ ${x + 2^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}} + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + \ldots + {2^n}C_n^n.$ Dễ dàng kiểm tra $n = 1$, $n = 2$ không thoả mãn điều kiện bài toán. Với $n ≥ 3$ thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích ${x^{3n – 3}}$ $ = {x^{2n}}{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}{x^{n – 1}}.$ Do đó hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ là ${a_{3n – 3}} = {2^3}C_n^0C_n^3 + 2C_n^1C_n^1.$ Suy ra ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left {2{n^2} – 3n + 4} \right}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$ Vậy $n = 5$ là giá trị cần tìm. Cách 2 Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ $ = {x^{3n}}{\left {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^n}{\left {1 + \frac{2}{x}} \right^n}$ $ = {x^{3n}}\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^i}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left {\frac{2}{x}} \right^k}$ $ = {x^{3n}}\left[ {\sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i} {x^{ – 2i}}\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {2^k}{x^{ – k}}} \right].$ Trong khai triển trên, luỹ thừa của $x$ là $3n – 3$ khi $ – 2i – k = – 3$ $ \Leftrightarrow 2i + k = 3.$ Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là $i = 0$, $k = 3$ hoặc $i = 1$, $k = 1$ vì $i,k$ nguyên. Hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ là ${a_{3n – 3}} = C_n^0C_n^3{2^3} + C_n^1C_n^12.$ Do đó ${a_{3n – 3}} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n\left {2{n^2} – 3n + 4} \right}}{3} = 26n$ $ \Leftrightarrow n = – \frac{7}{2}$ hoặc $n = 5.$ Vậy $n = 5$ là giá trị cần toán 7 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^n}$, biết $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$ A. $210.$ B. $213.$ C. $414.$ D. $213.$Chọn A. Do $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, $\forall k = 0,1,2, \ldots ,2n + 1.$ $ \Rightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$ Mặc khác $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}.$ $ \Rightarrow 2\left {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right = {2^{2n + 1}}.$ $ \Rightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – C_{2n + 1}^0$ $ = {2^{2n}} – 1.$ $ \Rightarrow {2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Rightarrow n = 10.$ Khi đó ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = {\left {{x^{ – 4}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^{ – 4}}} \right^{10 – k}}{x^{7k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$ Hệ số chứa ${x^{26}}$ ứng với giá trị $k$ thỏa mãn $11k – 40 = 26$ $ \Rightarrow k = 6.$ Vậy hệ số chứa ${x^{26}}$ là $C_{10}^6 = 210.$Bài toán 8 Trong khai triển của ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{10}}$ thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}$, hãy tìm hệ số ${a_k}$ lớn nhất $0 \le k \le 10.$ A. ${a_{10}} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ B. ${a_5} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ C. ${a_4} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$ D. ${a_9} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Chọn A. Ta có ${\left {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}x} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {\frac{1}{3}} \right^{15 – k}}{\left {\frac{2}{3}x} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} \frac{{{2^k}}}{{{3^{15}}}}{x^k}.$ Hệ số của ${x^k}$ trong khai triển ${a_k} = \frac{1}{{{3^{15}}}}C_{15}^k{2^k}.$ Ta có ${a_{k – 1}} \frac{{32}}{3}$ $ \Rightarrow {a_{10}} > {a_{11}} > \ldots > {a_{15}}.$ Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là ${a_{10}} = \frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}C_{15}^{10} = 3003\frac{{{2^{10}}}}{{{3^{15}}}}.$Bài toán 9 Cho khai triển ${1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}$, trong đó $n \in {N^*}$. Tìm số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ biết các hệ số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_n}$ thỏa mãn hệ thức ${a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}} = 4096.$ A. $324512.$ B. $126720.$ C. $130272.$ D. $130127.$Chọn B. Đặt $fx = {1 + 2x^n}$ $ = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_n}{x^n}.$ $ \Rightarrow {a_0} + \frac{{{a_1}}}{2} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{{2^n}}}$ $ = f\left {\frac{1}{2}} \right = {2^n}$ $ \Rightarrow {2^n} = 4096$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Với mọi $k \in \{ 0,1,2, \ldots ,11\} $ ta có ${a_k} = {2^k}C_{12}^k$, ${a_{k + 1}} = {2^{k + 1}}C_{12}^{k + 1}.$ $ \Leftrightarrow \frac{{{a_k}}}{{{a_{k + 1}}}} 1$ $ \Leftrightarrow k > 7$ $ \Rightarrow {a_8} > {a_9} > \ldots > {a_{12}}.$ Số lớn nhất trong các số ${a_0},{a_1}, \ldots ,{a_{12}}$ là ${a_8} = {2^8}C_{12}^8 = 126720.$ Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức moon Thành viên cấp 2 Thành viên BQT Tham gia ngày 2/10/14 Bài viết 160 Đã được thích 46 Điểm thành tích 28 Phương pháp Giả sử sau khi khai triển ta được đa thức $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Xét các khả năng sau a. Nếu ${a_k} > 0$ $\forall k$ trường hợp ${a_k} {a_{k + 1}}$ có nghiệm $k > {k_0}.$ • Nếu ${a_k} = {a_{k + 1}}$ $ \Leftrightarrow k = {k_0}$ thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta tìm được hai hệ số lớn nhất là ${a_{{k_0}}} = {a_{{k_0} + 1}}.$ • Nếu phương trình ${a_k} = {a_{k + 1}}$ vô nghiệm thì ta có ${a_0} {a_{{k_0} + 1}} > {a_{{k_0} + 2}} > \ldots > {a_n}.$ Khi đó ta có ${a_{{k_0}}}$ là hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức. b. Nếu ${a_{2k}} > 0$ $\forall k$ và ${a_{2k + 1}} 0$ $\forall k$ tương tự thì khi đó bài toán trở thành tìm số lớn nhất trong các số ${a_{2k}}$. Ta cũng xét bất phương trình ${a_{2k}} \le {a_{2k + 2}}$ rồi làm tương tự như phần 1. Bài toán 1 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển đa thức $Px = {2x + 1^{13}}$ $ = {a_0}{x^{13}} + {a_1}{x^{12}} + \ldots + {a_{13}}.$ A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$ Chọn A. Ta có hệ số tổng quát sau khi khai triển nhị thức ${2x + 1^{13}}$ là ${a_n} = C_{13}^n{.2^{13 – n}}.$ Suy ra ${a_{n – 1}} = C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}}$, $n = 1,2,3, \ldots ,13.$ Xét bất phương trình với ẩn số $n$ ta có ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ $ \Leftrightarrow C_{13}^{n – 1}{.2^{14 – n}} \le C_n^{13}{.2^{13 – n}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{ – 1!14 – n!}} \le \frac{{13!}}{{n!13 – n!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{2}{{14 – n}} \le \frac{1}{n}$ $ \Leftrightarrow n \le \frac{{14}}{3} \notin N.$ Do đó bất đẳng thức ${a_{n – 1}} \le {a_n}$ đúng với $n \in \{ 1,2,3,4\} $ và dấu đẳng thức không xảy ra. Nên bất đẳng thức ${a_{n – 1}} > {a_n}$ đúng với $n \in \{ 5,6,7,8,9,10,11,12,13\} .$ Ta được ${a_0} {a_5} > {a_6} > \ldots > {a_{13}}.$ Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là ${a_4} = C_{13}^4{.2^9} = 366080.$ Bài toán 2 Trong khai triển biểu thức $F = {\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là? A. $8.$ B. $4536.$ C. $4528.$ D. $4520.$ Chọn B. Ta có số hạng tổng quát ${T_{k + 1}} = C_9^k{\sqrt 3 ^{9 – k}}{\sqrt[3]{2}^k}.$ Ta thấy hai bậc của căn thức là $2$ và $3$ là hai số nguyên tố, do đó để ${T_{k + 1}}$ là một số nguyên thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {0 \le k \le 9}\\ {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3 \Rightarrow {T_4} = C_9^3{{\sqrt 3 }^6}{{\sqrt[3]{2}}^3} = 4536}\\ {k = 9 \Rightarrow {T_{10}} = C_9^9{{\sqrt 3 }^0}{{\sqrt[3]{2}}^9} = 8} \end{array}} \right.$ Vậy trong khai triển có hai số hạng nguyên là ${T_4} = 4536$ và ${T_{10}} = 8.$ Bài viết mới nhất Chia sẻ trang này

tìm hệ số lớn nhất trong khai triển